Аннотация. Наиболее убедительные результаты при моделировании цветения фитопланктона были получены на основе модификации классической системы взаимодействия фито и зоопланктона. Модификации с использованием уравнений с запаздыванием, а также кусочно-непрерывных функций, описывающих ответную реакцию с запаздыванием на процессы интоксикации, позволили получить адекватную динамику характерную для фитопланктона в природе.

В данной работе на основе аппарата рекуррентных уравнений, который позволяет описывать эффекты запаздывания естественным образом, разработана модель динамики сообщества «фитопланктон – зоопланктон», состоящая из двух уравнений с дискретным временем. При моделировании учитывается токсичность фитопланктона и связанная с ней ответная реакция зоопланктона. Для описания динамики каждого из видов, составляющих сообщество, используется дискретный аналог уравнения Ферхюльста, что позволяет учесть процессы авторегуляции. Снижение плотности фитопланктона в связи с его потреблением зоопланктоном описывается трофической функцией Холлинга II-типа с учетом насыщения хищника. Процессы роста и выживания зоопланктона также зависят от успешности его питания; при этом гибель зоопланктона, вызванная увеличением концентрации токсичных веществ, в связи с высокой плотностью зоопланктона, включена в процессы лимитирования.

Проведено аналитическое и численное исследование предложенной модели. Результаты анализа сценариев перехода от стационарной динамики к колебаниям численности сообщества показывают, что потеря устойчивости нетривиального равновесия, соответствующая сосуществованию фито- и зоопланктона, может происходить через каскад бифуркаций удвоения периода и по сценарию Неймарка – Сакера, ведущему к возникновению квазипериодических колебаний. Разработанная модель динамики сообщества фито и зоопланктона позволяет наблюдать возникновение длиннопериодических колебаний, согласующихся с результатами натурных экспериментов. При этом в областях мультистабильности возможна кардинальная смена динамического режима за счет изменения начальных условий.

 

Ключевые слова: математическая модель с дискретным временем, сообщество, токсичный фитопланктон, зоопланктон, трофическая функция, авторегуляция, устойчивость, динамические режимы.