О стационарных решениях уравнения с запаздывающими аргументами: модель локальной трансляции в синапсе
Лихошвай В.А.1, Хлебодарова Т.М.1,2
1ФИЦ Институт цитологии и генетики СО РАН, Новосибирск, Россия
2Новосибирский национальный исследовательский государственный университет, Новосибирск, Россия
Аннотация. Представлены результаты аналитического анализа стационарных решений дифференциального уравнения с двумя запаздывающими аргументами τ1 и τ2, используемого для моделирования молекулярно-генетических систем, в которых запаздывание присутствует как их естественная составляющая. Анализ проведен на модели локальной трансляции в активированном синапсе. Описаны условия существования неотрицательных стационаров и разработана теория их устойчивости в зависимости от значений запаздывающих аргументов, которая позволяет полностью охарактеризовать эти стационары для всего спектра значений параметров модели. Теория гарантирует неустойчивость положительного стационара для любых значений запаздывающих аргументов τ2 ≥ τ1 ≥ 0, если он является неустойчивым при нулевых значениях τ1 и τ2 (безусловная неустойчивость). Если положительный стационар является устойчивым только при нулевых значениях запаздывающих аргументов, то для реальных молекулярно-генетических систем эта область также является областью безусловной неустойчивости. Для положительных стационаров, которые устойчивы при τ1 = τ2 = 0, определены области безусловной устойчивости, когда стационары сохраняют устойчивость при любых значениях τ, и относительной неустойчивости, когда они ее теряют при некоторых значениях τ. Показано, что с увеличением эффективности трансляции, сложности и нелинейности механизмов ее регуляции, области безусловной и относительной устойчивости положительного стационара модели уменьшаются, а области безусловной неустойчивости стационара увеличиваются. Таким образом, повышенная активность системы локальной трансляции может быть фактором ее нестабильности и риска нейропсихических заболеваний, связанных с нарушением пластичности синапса и памяти, для которых постулируется важность стабильного протеома в синапсе.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, запаздывающий аргумент, обобщенные функции Хилла, локальная трансляция, стационары, сложная динамика, моделирование.